在线编程在线课堂在线测评Anycodes在线编程

编程论坛

 找回密码
 立即注册

QQ登录

只需一步,快速开始

How to use bs4??
本帖最后由 carry0987 于
Double Queue 问题描述 : The new founded Balkan Investment Group Bank (
John 问题描述 : Little John is playing very funny game
linux-command Linux命令大全搜索工具,内容包含Linux命令
Coati 是一款跨平台的代码查看工具,适用于 C/C++ 和 Java。商业软件。特性:1. 索引
系统可承载海量并发,消息收发确认机制 保障消息必达 系统采用动态智
全平台视频监控,支持安卓苹果以及pcweb,支持海康大华等主流dvr,全部源码以及文档 单聊、群聊、商
如何访问类的私有属性? 下面以 TPathData 为例,
问题:从 XE4 以来,Firemonkey 曲线绘图在移动平台不平滑的问题一直令人诟病,提交到官方的 QC 也是族繁不及备载,官方似乎有意的
操作数据库(RODBC)   odbcConnect(dsn, uid="", p
数据模式:mode函数显示任何对象的模式。常见的单个的
系统可承载海量并发,消息收发确认机制 保障消息必达 系统采用动态智
RabbitMQ与PHP(一) 项
Iease团队扩编预备中,盼望能有Ruby或者java工程师加盟。全职兼职都可以。有爱好的伴侣请与我接洽。 邮件:i
ruby 怎么设置装备摆设GTK2,求教指导下!
#include #include #include #include using namespace std; int main() {
标题如图所示: 有n盏灯,编号1~n。一开端灯都是关着的
成熟的消息收发确认机制,支持万人大群 支持开发自定义的消息sdk接口,扩展性超强 支持单/
成熟的消息收发确认机制,支持万人大群 支持开发自定义的消息sdk接口,扩展性超强 支持单/
1. 注意列表和集合的区别 set 列表表现形式: list_1
Ajax   Ajax即“Asynchronous Javascript And
大师好,我比来在做布谷鸟优
分辨提取A和B图像Harris角点,接下来须要对

[HDU杭电] HDU 1061 Rightmost Digit-数论-[解题报告] C++

[复制链接]
发表于 2016-3-25 22:13:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
Rightmost Digit


问题描述 :
Given a positive integer N, you should output the most right digit of N^N.
输入:
The input contains several test cases. The first line of the input is a single integer T which is the number of test cases. T test cases follow.
Each test case contains a single positive integer N(1<=N<=1,000,000,000).
输出:
For each test case, you should output the rightmost digit of N^N.
样例输入:

  1. 2
  2. 3
  3. 4
复制代码
样例输出:

  1. 7
  2. 6

  3. Hint
  4. In the first case, 3 * 3 * 3 = 27, so the rightmost digit is 7.
  5. In the second case, 4 * 4 * 4 * 4 = 256, so the rightmost digit is 6.
复制代码
一般的求幂再对10取余会超时,用快速幂
  1. #include <iostream>
  2. #include <cstdio>
  3. using namespace std;
  4. int mod_exp(int a, int b, int c)        //快速幂取余a^b%c
  5. {
  6.     int res, t;
  7.     res = 1 % c;
  8.     t = a % c;
  9.     while (b)
  10.     {
  11.         if (b & 1)
  12.         {
  13.             res = res * t % c;
  14.         }
  15.         t = t * t % c;
  16.         b >>= 1;
  17.     }
  18.     return res;
  19. }
  20. int main()
  21. {
  22.     int T;
  23.     cin >> T;
  24.     while (T--)
  25.     {
  26.         int n;
  27.         cin >> n;
  28.         cout << mod_exp(n, n, 10) << endl;
  29.     }
  30.     system("pause");
  31.     return 0;
  32. }
复制代码
下面是一个快速幂的介绍:先贴一个秦九韶算法(Horner算法)的原理:设有

n+1

n+1
项的

n

n
次函数

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+......+a_2x^2+a_1x+a_0

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+......+a_2x^2+a_1x+a_0
将前项提取公因子

x

x
,得

f(x)=(a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+a_{n-2}x^{n-3}+......+a_2x+a_1)x+a_0

f(x)=(a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+a_{n-2}x^{n-3}+......+a_2x+a_1)x+a_0
再将括号内的前

n-1

n-1
项提取公因子,得

f(x)=((a_nx^{n-2}+a_{n-1}x^{n-3}+a_{n-2}x^{n-4}+......+a_2)x+a_1)x+a_0

f(x)=((a_nx^{n-2}+a_{n-1}x^{n-3}+a_{n-2}x^{n-4}+......+a_2)x+a_1)x+a_0
如此反复提取公因子,最后将函数化为

f(x)=(((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+......+a_1)x+a_0

f(x)=(((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+......+a_1)x+a_0

f_1=a_nx+a_{n-1}

f_1=a_nx+a_{n-1}

f_2=f_1x+a_{n-2}

f_2=f_1x+a_{n-2}

f_3=f_2x+a_{n-3}

f_3=f_2x+a_{n-3}
……

f_n=f_{n-1}x+a_0

f_n=f_{n-1}x+a_0

f_n

f_n
即为所求下面是讲解快速幂的:(By  夜せ︱深   感谢作者)<p class="p0">快速幂取模算法<p class="p0">在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释,这里,我给出快速幂算法的完整解释,用的是C语言,不同语言的读者只好换个位啦,毕竟读C的人较多~<p class="p0">所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模()。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法。[有读者反映在讲快速幂部分时有点含糊,所以在这里对本文进行了修改,作了更详细的补充,争取让更多的读者一目了然]<p class="p0">我们先从简单的例子入手:求a^b % c = ?<p class="p0">算法1.首先直接地来设计这个算法:<p class="p0">int ans = 1;<p class="p0">for(int i = 1;i<=b;i++)<p class="p0">{<p class="p0">ans = ans * a;<p class="p0">}<p class="p0">ans = ans % c;<p class="p0">这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为Ob.这个算法存在着明显的问题,如果ab过大,很容易就会溢出。<p class="p0">那么,我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:a^b%c=(a%c)^b%c.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过,不过这里为了方便大家的阅读,还是给出证明:<p class="p0">引理1:a^b%c = (a%c)^b%c<p class="p0"> <p class="p0">上面公式为下面公式的引理,即积的取余等于取余的积的取余。<p class="p0"> <p class="p0">证明了以上的公式以后,我们可以先让a关于c取余,这样可以大大减少a的大小,<p class="p0">于是不用思考的进行了改进:<p class="p0">算法2<p class="p0">int ans = 1;<p class="p0">a = a % c; //加上这一句<p class="p0">for(int i = 1;i<=b;i++)<p class="p0">{<p class="p0">ans = ans * a;<p class="p0">}<p class="p0">ans = ans % c;<p class="p0">聪明的读者应该可以想到,既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。<p class="p0">算法3<p class="p0">int ans = 1;<p class="p0">a = a % c; //加上这一句<p class="p0">for(int i = 1;i<=b;i++)<p class="p0">{<p class="p0">ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余<p class="p0"> <p class="p0">}<p class="p0">ans = ans % c;<p class="p0">这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法。<p class="p0">快速幂算法依赖于以下明显的公式,我就不证明了。<p class="p0">

HDU 1061 Rightmost Digit-数论-[解题报告] C++

HDU 1061 Rightmost Digit-数论-[解题报告] C++
<p class="p0">那么我们可以得到以下算法:<p class="p0">算法4<p class="p0">int ans = 1;<p class="p0">a = a % c;<p class="p0">if(b%2==1)<p class="p0">ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数,要多求一步,可以提前算到ans<p class="p0">k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a<p class="p0">for(int i = 1;i<=b/2;i++)<p class="p0">{<p class="p0">ans = (ans * k) % c;<p class="p0">}<p class="p0">ans = ans % c;<p class="p0"> <p class="p0">我们可以看到,我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然,这样子治标不治本。但我们可以看到,当我们令k = (a * a) mod c时,状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然,对于奇数的情形会多出一项a mod c,所以为了完成迭代,当b是奇数时,我们通过<p class="p0">ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项,此时剩余的部分就可以进行迭代了。<p class="p0"> <p class="p0">形如上式的迭代下去后,当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。于是便可以在Olog b的时间内完成了。于是,有了最终的算法:快速幂算法。<p class="p0">算法5:快速幂算法<p class="p0"> <p class="p0">int ans = 1;<p class="p0">a = a % c;<p class="p0">while(b>0)<p class="p0">{<p class="p0"> <p class="p0">if(b % 2 == 1)<p class="p0">ans = (ans * a) % c;<p class="p0">b = b/2;<p class="p0">a = (a * a) % c;<p class="p0">}<p class="p0">将上述的代码结构化,也就是写成函数:<p class="p0">int PowerMod(int a, int b, int c)<p class="p0">{<p class="p0">int ans = 1;<p class="p0">a = a % c;<p class="p0">while(b>0)<p class="p0">{<p class="p0"> <p class="p0">if(b % 2 = = 1)<p class="p0">ans = (ans * a) % c;<p class="p0">b = b/2;<p class="p0">a = (a * a) % c;<p class="p0">}<p class="p0">return ans;<p class="p0">}<p class="p0">本算法的时间复杂度为Ologb),能在几乎所有的程序设计(竞赛)过程中通过,是目前最常用的算法之一。<p class="p0">以下内容仅供参考:<p class="p0">扩展:有关于快速幂的算法的推导,还可以从另一个角度来想。<p class="p0">=? 求解这个问题,我们也可以从进制转换来考虑:<p class="p0">将10进制的b转化成2进制的表达式:<p class="p0"><p class="p0">注意此处的要么为0,要么为1,如果某一项,那么这一项就是1,这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况,为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了,读者自己好好分析,可以联系10进制转2进制的方法],我们从依次乘到。对于每一项的计算,计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言,为时ans不用把它乘起来,[因为这一项值为1],为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的,读者可以自行分析,这里我说不多说了,希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点,当然,要真正的掌握,不多练习是不行的。

n

n

x

x

x

x
在线编程(http://www.anycodes.cn)&编程论坛(http://www.52exe.cn)感谢您的支持!
回复

使用道具 举报

发布主题 上个主题 下个主题 快速回复 返回列表 官方QQ群
在线客服
客 服 中 心
群 机 器 人
网站二维码
收 起 客 服

QQ|Archiver|手机版|小黑屋|Anycodes ( ICP14002806Anycodes在线编程

GMT+8, 2018-11-22 01:08 , Processed in 1.742581 second(s), 71 queries .

Powered by Anycodes

© 2001-2013 吉林市群龙科技有限公司 Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表